persamaan trigonometri tingkat lanjut

 materi tentang Persamaan Trigonometri Lanjutan untuk Kelas 11, dilengkapi dengan penjelasan konsep, bentuk umum, metode penyelesaian, dan contoh soal.

---

1. Konsep Dasar Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri (sin, cos, tan, cosec, sec, cot) dengan variabel sudut yang ingin dicari penyelesaiannya.

Penyelesaian umum biasanya dinyatakan dalam bentuk:

• Derajat: $x=\alpha +k\cdot {360}^{\circ }$ atau $x=\alpha +k\cdot {180}^{\circ }$ tergantung fungsi.

• Radian: $x=\alpha +k\cdot 2\pi$ atau $x=\alpha +k\cdot \pi$.

---

2. Bentuk-Bentuk Umum dan Rumus Penyelesaian

A. Persamaan dasar

1. $\sin x=\sin \alpha$

   $$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\alpha </span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">360</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}\text{<span style="background-color: white;">atau</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span><span\; style="background-color:\; white;">(</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">180</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">-</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\alpha </span>}<span\; style="background-color:\; white;">)</span><span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">360</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}$$

   (dalam radian: $x=\alpha +k\cdot 2\pi$ atau $x=(\pi -\alpha )+k\cdot 2\pi$).

2. $\cos x=\cos \alpha$

   $$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\alpha </span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">360</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}\text{<span style="background-color: white;">atau</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span><span\; style="background-color:\; white;">-</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\alpha </span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">360</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}$$

   (radian: $x=\alpha +k\cdot 2\pi$ atau $x=-\alpha +k\cdot 2\pi$).

3. $\tan x=\tan \alpha$

   $$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\alpha </span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">180</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}$$

   (radian: $x=\alpha +k\cdot \pi$).

---

B. Persamaan berbentuk $a\sin x+b\cos x=c$

Metode:

1. Ubah ke bentuk $k\cos (x-\alpha )=c$
   dengan:

   $$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\sqrt{{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">a</span>}}^{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">b</span>}}^{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}}}<span\; style="background-color:\; white;">,</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\alpha </span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">arctan</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span><span\; style="background-color:\; white;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">a</span>}}{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">b</span>}}<span\; style="background-color:\; white;">)</span>\text{<span style="background-color: white;"> </span>}<span\; style="background-color:\; white;">(</span>\text{<span style="background-color: white;">sesuaikan kuadran</span>}<span\; style="background-color:\; white;">)</span>$$

   Sehingga:

   $$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">cos</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span><span\; style="background-color:\; white;">(</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">-</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\alpha </span>}<span\; style="background-color:\; white;">)</span><span\; style="background-color:\; white;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">c</span>}}{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}}$$

   Syarat agar punya solusi: $\mid \frac{c}{k}\mid \le 1$.

---

C. Persamaan kuadrat dalam trigonometri

Contoh: $a{\sin }^{2}x+b\sin x+c=0$

• Misal $p=\sin x$, maka $a{p}^2+bp+c=0$

• Selesaikan untuk $p$, lalu kembalikan ke persamaan trigonometri dasar.

---

D. Persamaan dengan sudut berbeda (bentuk $\sin mx=\sin nx$)

Gunakan rumus jumlah/selisih sinus/cosinus:

$$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">sin</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">A</span>}<span\; style="background-color:\; white;">-</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">sin</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">B</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">cos</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">A</span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">B</span>}}{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">sin</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">A</span>}<span\; style="background-color:\; white;">-</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">B</span>}}{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}}$$$$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">cos</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">A</span>}<span\; style="background-color:\; white;">-</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">cos</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">B</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span><span\; style="background-color:\; white;">-</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">sin</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">A</span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">B</span>}}{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">sin</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">A</span>}<span\; style="background-color:\; white;">-</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">B</span>}}{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}}$$

atau gunakan sifat kesamaan sudut:

$$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">sin</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">m</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">sin</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">n</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}\text{<span style="background-color: white;"> </span>}<span\; style="background-color:\; white;">\Rightarrow </span>\text{<span style="background-color: white;"> </span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">m</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">n</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\pi </span>}\text{<span style="background-color: white;"> atau </span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">m</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\pi </span>}<span\; style="background-color:\; white;">-</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">n</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\pi </span>}$$

(sesuaikan untuk cos dan tan).

---

E. Persamaan yang memuat lebih dari satu fungsi

Contoh: $\sin x=\cos x$

• Bagi kedua ruas dengan $\cos x$ (asalkan $\cos x\mathrm{\ne }0$) → $\tan x=1$

• Atau ubah: $\sin x-\cos x=0$ → kalikan dengan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ untuk bentuk $\sin (x-{45}^{\circ })=0$.

---

3. Contoh Soal dan Penyelesaian

Contoh 1 (Bentuk dasar):

Selesaikan $\sin 2x=\frac{1}{2}$ untuk $0^{\circ }\le x\le {360}^{\circ }$.

Penyelesaian:

$$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">sin</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">sin</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">30</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}$$$$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">30</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">360</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}\text{<span style="background-color: white;">atau</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">180</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">-</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">30</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">360</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}$$$$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">30</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">360</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}\text{<span style="background-color: white;"> </span>}<span\; style="background-color:\; white;">\Rightarrow </span>\text{<span style="background-color: white;"> </span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">15</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">180</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}$$$$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">150</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">360</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}\text{<span style="background-color: white;"> </span>}<span\; style="background-color:\; white;">\Rightarrow </span>\text{<span style="background-color: white;"> </span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">75</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">180</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}$$

Untuk $k=0$: $x={15}^{\circ },{75}^{\circ }$
$k=1$: $x={195}^{\circ },{255}^{\circ }$
Jadi himpunan penyelesaian: $\{{15}^{\circ },{75}^{\circ },{195}^{\circ },{255}^{\circ }\}$.

---

Contoh 2 (Bentuk $a\sin x+b\cos x=c$):

Selesaikan $\sin x+\cos x=1$ untuk $0\le x\le 2\pi$.

Penyelesaian:

$$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\sqrt{{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">1</span>}}^{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">1</span>}}^{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}}}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\sqrt{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}}$$

Bagi kedua ruas dengan $\sqrt{2}$:

$$\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">1</span>}}{\sqrt{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}}}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">sin</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">1</span>}}{\sqrt{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}}}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">cos</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">1</span>}}{\sqrt{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}}}$$$$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">sin</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">cos</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">45</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">cos</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">sin</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">45</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">1</span>}}{\sqrt{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}}}$$$$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">sin</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span><span\; style="background-color:\; white;">(</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">45</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">)</span><span\; style="background-color:\; white;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">1</span>}}{\sqrt{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}}}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">sin</span>}<span\; style="background-color:\; white;"></span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">45</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}$$

Maka:

$$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">45</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">45</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">360</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}\text{<span style="background-color: white;">atau</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">45</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">180</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">-</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">45</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">360</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}$$$$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">0</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">360</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}\text{<span style="background-color: white;">atau</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">90</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">360</span>}}^{<span\; style="background-color:\; white;">\circ </span>}$$

Dalam interval $0^{\circ }\le x\le {360}^{\circ }$: $x=0^{\circ },{90}^{\circ }$.
Dalam radian: $x=0,\frac{\pi }{2}$.

---

Contoh 3 (Persamaan kuadrat trigonometri):

Selesaikan $2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0$ untuk $0\le x<2\pi$.

Penyelesaian:
Misal $p=\sin x$:

$$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">p</span>}}^{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}}<span\; style="background-color:\; white;">-</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">p</span>}<span\; style="background-color:\; white;">-</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">1</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">0</span>}$$$$<span\; style="background-color:\; white;">(</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">p</span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">1</span>}<span\; style="background-color:\; white;">)</span><span\; style="background-color:\; white;">(</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">p</span>}<span\; style="background-color:\; white;">-</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">1</span>}<span\; style="background-color:\; white;">)</span><span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">0</span>}$$$$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">p</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span><span\; style="background-color:\; white;">-</span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}}\text{<span style="background-color: white;">atau</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">p</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">1</span>}$$

• Untuk $\sin x=1$:
  $x=\frac{\pi }{2}$

• Untuk $\sin x=-\frac{1}{2}$:
  $\sin x=\sin (-\frac{\pi }{6})$

  $$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span><span\; style="background-color:\; white;">-</span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\pi </span>}}{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">6</span>}}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\pi </span>}\text{<span style="background-color: white;">atau</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\pi </span>}<span\; style="background-color:\; white;">-</span><span\; style="background-color:\; white;">(</span><span\; style="background-color:\; white;">-</span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\pi </span>}}{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">6</span>}}<span\; style="background-color:\; white;">)</span><span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\pi </span>}$$$$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span><span\; style="background-color:\; white;">-</span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\pi </span>}}{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">6</span>}}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\pi </span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">11</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\pi </span>}}{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">6</span>}}<span\; style="background-color:\; white;">(</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">1</span>}<span\; style="background-color:\; white;">)</span>$$$$\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">x</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\pi </span>}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\pi </span>}}{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">6</span>}}<span\; style="background-color:\; white;">+</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">\cdot </span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">2</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\pi </span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">7</span>}\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">\pi </span>}}{\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">6</span>}}<span\; style="background-color:\; white;">(</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">k</span>}<span\; style="background-color:\; white;">=</span>\mathrm{<span\; style="background-color:\; white;">0</span>}<span\; style="background-color:\; white;">)</span>$$

Jadi HP: $\{\frac{\pi }{2},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}\}$.

---

4. Tips Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

1. Sederhanakan persamaan menggunakan identitas trigonometri (contoh: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, $1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$, dll).

2. Coba faktorkan jika mungkin.

3. Gunakan substitusi variabel untuk persamaan kuadrat.

4. Samakan fungsi trigonometri (ubah semua ke sin, cos, atau tan) jika memungkinkan.

5. Perhatikan interval yang diberikan untuk menentukan nilai $k$ yang sesuai.

6. Hati-hati dengan pembagian oleh fungsi trigonometri yang bisa nol.

---

5. Latihan Soal

1. Selesaikan $\cos 3x=\sin x$ untuk $0^{\circ }\le x\le {180}^{\circ }$.

2. Selesaikan $\sqrt{3}\sin x+\cos x=2$ untuk $0\le x\le 2\pi$.

3. Tentukan himpunan penyelesaian $2{\cos }^{2}x-3\sin x-3=0$ dalam interval $[0,2\pi )$.

Pengertian Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri dapat diartikan sebagai persamaan yang memuat fungsi trigonometri dari sudut yang belum diketahui jumlah nilainya. 

Rumus Persamaan Trigonometri

Rumus persamaan trigonometri terbagi menjadi tiga, yaitu rumus sinus, cosinus, dan tangen. Kita bahas lebih lanjut, yuk. 

sin x = sin α, maka x = α + k. 360° atau x = (180° – α) + k. 360°

sin x yang positif ada di kuadran I dan II, sehingga sudutnya bernilai α atau (180° – α) 

Nilai k merupakan bilangan bulat, yang menandakan bentuk periodisitas dari sin, dimana satu periodenya 360°. 

cos x = cos α, maka x = α + k. 360° atau x = ( – α ) + k. 360°

cos x yang positif ada di kuadran I dan IV, sehingga sudutnya bernilai α atau (360° – α) atau (– α).

Nilai k merupakan bilangan bulat, yang menandakan bentuk periodisitas dari cos, dimana satu periodenya 360°. 

tan x = tan α, maka x = α + k. 180° 

tan x yang positif ada di kuadran I dan III, sehingga sudutnya bernilai α yang ada di kuadran I saja .

Sedangkan itu, di kuadran III tidak digunakan karena satu periode untuk tan 180°, sampai kuadran II. Nilai k merupakan bilangan bulat, yang menandakan bentuk periodisitas dari tan, dimana satu periodenya 180°. 

Manfaat Trigonometri dalam Kehidupan Sehari-hari

Trigonometri ternyata memiliki banyak manfaat untuk kehidupan kita, lho, bahkan penerapan ilmu trigonometri sudah berlangsung sejak abad ke-3 SM. Pada saat itu, ilmu trigonometri digunakan dalam perhitungan astronom untuk menghitung jarak bumi dengan bulan. Keren banget, ya.

Selain itu, ternyata trigonometri juga bisa diterapkan pada bidang geografi. Trigonometri sering digunakan untuk menghitung jari-jari Bumi dan jarak antara dua tempat di Bumi tanpa harus keliling menjelajahi Bumi. Sangat praktis, bukan?

Dalam contoh yang lebih dekat dengan kita, perhitungan trigonometri juga bisa digunakan untuk mengukur tinggi pohon tanpa memanjatnya hanya dengan mengukur bayangannya. 

Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Trigonometri

Supaya pemahamanmu tentang persamaan trigonometri semakin terasah, coba kerjaan contoh soal persamaan trigonometri berikut ini, yuk! 

.

Contoh Soal 1

Berapa banyak x yang memenuhi persamaan berikut?

2sin² (2x) – 7 sin 2x + 3 = 0 pada interval -𝜋 ≤ x ≤ 𝜋

Jawab:

2 sin² 2x – 7 sin 2x + 3 = 0

Jika sin 2x = p, maka bisa dibuat menjadi persamaan kuadrat seperti berikut ini. 

2p² – 7p + 3 = 0

(2p – 1)(p – 3) = 0

p = ½ atau p = 1

Fungsi sin tidak mungkin lebih dari 1, maka pilih p = ½ 

Coba cari nilai sin 2x = ½

sin 2x = ½ = sin 30º

sin x = sin 𝛼

x = 𝛼 + k.360°

x = (180 – 𝛼) + k.360°

sin 2x = sin 30º

2x = 30º + k.360°

x = 15º + k.180°

x = {-165, 15, 195, …}

2x = 150º + 360k

x = 75º + 180k

x = {-105, 75, 255, …}

Pada soal, interval dibatasi untuk -𝜋 ≤ x ≤ 𝜋.

Jadi, x = {-165, -105, 15, 75}.

Contoh Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan sin x = sin 70° , 0° ≤ x ≤ 360° 

sin x = sin 70° , 0° ≤ x ≤ 360°

α = 70°

x = α + k.360°

Untuk k = 0 maka x = 70° + 0 .360° = 70°

untuk k = 1 maka x = 70°+1.360° = 430° (Tidak memenuhi interval)

x = (180°− α) + k.360°

Untuk k = 0 maka x= (180° − 70°) + 0.360° = 110° 

Untuk k = 1 maka x = (180° − 70°) + 1.360° = 470° (Tidak memenuhi interval)

Jadi HP = {70°, 110°}

Contoh Soal 3

Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 cos 3xº = 1,untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah....

A. {0°, 20°, 60°}

B. {0°, 20°, 100°}

C. {20°, 60°, 100°}

D. {20°, 100°, 140°}

E. {100°, 140°, 180°}

Pembahasan:

2 cos 3xº = 1

⇒ cos 3xº = ½

⇒ cos 3xº = cos 60°

Maka:

3x₁ = 60°+ k.360°

⇒ x₁ = 20°+ k.120°

⇒ x₁ = {20,140}

3x₂ = -60° + k.360°

⇒ x₂ = -20° + k.120°

⇒ x₂ = {100°}

Jadi, diperoleh himpunan penyelesaian HP {20°, 100°, 140°}.

Jawaban: D.

---